Реферат на тему: Взаимная корреляционная функция между входом и выходом системы

Введение

Процессы на входе и выходе системы с импульсной переходной функцией связаны уравнением свертки, которое можно записать в виде

Если же дополнительно к управляющему воздействию на систему действует возмущающее воздействие (помеха) , так что - импульсная переходная функция по помехе, то в приведенном выше выражении появляется дополнительное слагаемое

Пусть внешние воздействия являются стационарными случайными процессами и, как следствие, таковым же является выходной процесс .

Для центрированных процессов (при нулевых математических ожиданиях) определим взаимную корреляционную функцию входного и выходного процессов как математическое ожидание произведения этих процессов, один из которых сдвинут по времени

Здесь, как и раньше, использовано усреднение по времени вместо усреднения по множеству.

Подставим сюда выражение выходного процесса (2)

Изменим порядок интегрирования

Внутренние интегралы здесь представляют выражения корреляционных функций. Поэтому последнее выражение можно представить в виде:

Если помеха не коррелирована с управляющим воздействием , что чаще всего и бывает, то последнее слагаемое равно нулю и

Полученное выражение представляет собой интеграл свертки. Оно аналогично выражению (1). Если рассматривать корреляционную функцию как входное воздействие, а взаимную корреляционную функцию - как выходной процесс, то указанная аналогия станет очевидной.

Заметим, что в окончательном выражении (4) не фигурируют ни характеристики помехи, ни импульсная переходная функция по помехе. Не отражен даже сам факт наличия помехи.

Если бы вывод этого выражения был основан на использовании выражения (1), а не (2), т.е. в предположении, что помеха отсутствует, то и тогда было бы получено выражение связи (4).

Этим не исчерпываются замечательные свойства полученного выражения. Предположим, что на входе системы действует "белый шум", т.е. . Тогда по основному свойству d - функции

Другими словами, если на вход системы подавать "белый шум", то взаимно корреляционная функция будет численно равна импульсной переходной функции системы.

Это чисто теоретический результат, но он имеет большое практическое значение. Как известно, "белый шум" - это абстрактное математическое понятие, идеализация случайного процесса, спектральная плотность которого одинакова для любой частоты. Такого процесса в природе не существует: для его генерации потребовался бы источник бесконечно большой мощности. Однако к такой идеализации прибегают всякий раз, когда изменением спектральной плотности в полосе пропускания системы можно пренебречь.

Но даже с учетом этого обстоятельства полученный результат имеет большое значение, потому что чем ближе спектральная плотность к "белому шуму", тем ближе взаимная корреляционная функция к импульсной переходной функции.

Оглавление

- Взаимная корреляционная функция между входом и выходом системы

- Определение импульсной переходной функции объекта по статистическим характеристикам

- Определение импульсной переходной функции по детерминированным характеристикам